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先总结一下
个球， 个盒
球同
盒同
可空
公式
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或

球同，盒同，可空

若要求不超过 个，答案为 。

球不同，盒同，可空

若要求不超过 个，答案为 。

球同，盒不同，可空

若要求不超过 个，答案为 。
也可以考虑容斥，令 表示至少有 个盒子装了 个球方案数，。
总方案数则为 。

球同，盒不同，不可空

若要求不超过 个，答案为 。
也可以考虑容斥，令 表示至少有 个盒子装了 个球方案数，。
总方案数则为 。

球不同，盒不同，可空

若要求不超过 个，答案为 。

球不同，盒不同，不可空

若要求不超过 个，答案为 。