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先总结一下
个球， 个盒
球同 | 盒同 | 可空 | 公式 |
✓ | ✓ | ✓ | 或 |
✓ | ✓ | ✕ | |
✕ | ✓ | ✓ | 或 |
✕ | ✓ | ✕ | 或 |
✓ | ✕ | ✓ | |
✓ | ✕ | ✕ | |
✕ | ✕ | ✓ | |
✕ | ✕ | ✕ | 或 |
球同，盒同，可空
若要求不超过 个，答案为 。
球不同，盒同，可空
若要求不超过 个，答案为 。
球同，盒不同，可空
若要求不超过 个，答案为 。
也可以考虑容斥，令 表示至少有 个盒子装了 个球方案数，。
总方案数则为 。
球同，盒不同，不可空
若要求不超过 个，答案为 。
也可以考虑容斥，令 表示至少有 个盒子装了 个球方案数，。
总方案数则为 。
球不同，盒不同，可空
若要求不超过 个，答案为 。
球不同，盒不同，不可空
若要求不超过 个，答案为 。